Una válvula para controlar la tasa de flujo de refrigerante a un reactor puede operar sólo entre las posiciones de totalmente abierta o cerrada, mientras que las bombas y compresores tienen capacidades finitas y un tanque puede contener cierto volumen fijo. Estas no linealidades de las entradas están presentes en prácticamente todos los sistemas físicos.

El doctor Julio Solís Daun, profesor-investigador del Departamento de Matemáticas de la Unidad Iztapalapa de la Universidad Autónoma Metropolitana (UAM), aborda dichos temas en el artículo con el que ganó el Premio a la Investigación 2015 en el área de Ciencias Básicas e Ingeniería.

En el trabajo Global CLF stabilization of nonlinear systems. Part I: A geometric approach– compact strictly convex CVS refiere algunos problemas tecnológicos e industriales para motivar el estudio de sistemas de controles acotados.

El grado de importancia de estas no linealidades puede variar, pues mientras en unos sistemas las no linealidades de las entradas pueden ser ignoradas, en otros sus efectos pueden ser considerables y, por ende, conducir a problemas de estabilidad y/o detrimento en el desempeño.

Una de las restricciones más frecuentes en la ingeniería de control es aquella concerniente a los actuadores. Desde hace algunos años los ingenieros de control han estado conscientes de los efectos de la saturación de los actuadores sobre los sistemas de control.

El establecimiento de cotas en la magnitud y/o en la tasa –derivada– de un actuador –explica el doctor Solís Daun– están entre las restricciones más significativas y comunes de cualquier sistema de control.

Por ejemplo, una válvula para controlar la tasa de flujo de refrigerante a un reactor sólo puede operar entre las posiciones de totalmente abierta o cerrada, las bombas y compresores tienen capacidades finitas y un tanque puede contener cierto volumen fijo.

Debido a la ausencia de resultados teóricos, estas restricciones de la entrada eran manejadas en forma ad hoc y las propiedades de estabilidad de un sistema específico eran investigadas mediante extensas simulaciones antes de su implementación.

Aunque este enfoque puede funcionar en muchos casos, en ocasiones puede tener consecuencias indeseables y hasta catastróficas –como ha sucedido en algunos accidentes de aviación– debido a las denominadas “oscilaciones inducidas por el piloto”, producidas en parte por superficies de saturación derivada del control.

“La investigación en problemas con restricciones en el control, en su sentido amplio, continuará y se intensificará en el futuro. Este aspecto de la investigación en control resulta crucial porque tiene por objetivo incrementar la relevancia industrial de la Teoría de Control moderna”.

En el artículo presentado para el Premio “obtuvimos, tanto una solución –en forma genérica– al problema del diseño de controles derivado del Teorema de Artstein como también una aproximada –entendiendo por esto, densa– al problema abierto planteado por Sontag, dentro el enfoque de la teoría de las funciones de Lyapunov de control (clf)”.

Este asunto tuvo su origen a finales del siglo pasado, cuando la comunidad científica dejó una colección de problemas con motivo del fin de siglo y del milenio, y bajo la influencia de la “muy célebre lista” de 23 problemas abiertos de D. Hilbert de 1900.

Destacados miembros de la comunidad científica en Teoría de Sistemas y Control fueron invitados a formular problemas abiertos en este campo, participando con una serie de problemas sobre los cuales se derivó la publicación de un libro en 1999 que recopilaba cerca de 50 problemas abiertos, que a su juicio podrían crear nuevas líneas de investigación. Uno de estos temas concierne a estabilidad de sistemas.

El doctor Solís Daun destaca que en la prestigiosa revista SIAM Journal on Control and Optimization, cuyos arbitrajes toman más de un año en promedio, resultó sorpresivo que su artículo fuera aceptado en tan sólo seis meses, sometido el primero de agosto de 2012 y aceptado el 13 de febrero de 2013, y posteriormente publicado en forma electrónica el 14 de mayo de 2013.

Lo anterior es relevante porque en el artículo en cuestión “hemos resuelto –en cierto sentido– el problema del diseño de controles retroalimentados para la estabilización asintótica global (gas) de sistemas afines en el control con respecto de la clase de todos los conjuntos de valores de control (cvs) compactos convexos arbitrarios U y que contienen al 0 en sus interiores”, concluyó.